中３：正五角形の作図＜相似な図形＞

中３：正五角形の作図＜相似な図形＞

１　正五角形を作図するために

中学校第３学年で、「正五角形の作図」を題材にして授業を実践した。正五角形の作図を行うためには、中学校３年間の数学の学びを活用しなければならない。そのことを踏まえ、中学１年時から計画的に以下の5点を意識し、中学３年の「正五角形の作図」に取り組んだ。

①１年「平面図形」の作図の利用において、いろいろな正多角形の作図方法を検証する。

その際に、「正五角形は作図できないのか」という問いを生徒に持たせる。実際に、「正三角形、正方形、正六角形、正八角形、…とできるのに、正五角形はできないのか。」と問う。生徒は「正五角形は作図できそうな気がする」や、「かけそうでかけない。」「何かもやもやする」という思いをもっていた。

②３年「平方根」において、無理数の長さを作図する方法を考える。

 の長さを作図するには、面積が5㎠の正方形の1辺の長さを作図すればよいことに気づく学習を設定する。

③３年「相似な図形」において、相似比を利用して正五角形の対角線の長さを求める。

対角線をひくことで相似な三角形の組が生まれ、対角線をxとすると、相似な図形の線分の長さの比の関係から、  の2次方程式ができ、このことから対角線の長さが  (黄金数)であることに気づく学習を設定する。

④①、②でしたことを振り返り、正五角形の対角線をひくことで、正五角形を作図することができるのではないかと問いかける。

⑤3年「三平方の定理」において、辺の長さの比が、1:2: になる直角 三角形があることを学び、これを利用して正五角形が作図できるのではないかと考える。

ここでは特に、③の授業における実践について紹介する。1辺の長さが1の正五角形の対角線をひくと、図１のように△ABCと△AFBが相似であるのではないかと予想する生徒と、図２のように△ACDと△DCGが相似であるのではないかと予想する生徒に分かれた。③の授業の前時に、相似であることを

証明し、本時では図１、図２それぞれの立場に分かれてACの長さを求めた。授業前は、次のような生徒の実態であった。

・コンパスと定規を使って、正三角形、正方形、正六角形の作図はできる。

・  ㎝は、約2.2㎝であることがわかっており、  ㎝をコンパスと定規で長さを測って作図できる。

・相似である理由は、2組の角の大きさが等しいからという理由はわかる。

・正五角形の対角線を結ぶと、二等辺三角形を作ることができる。

　図１の相似な三角形の組を用いて、ACの長さを求めようとしたグループ交流を１つ紹介する。ここで登場する4名(A男、B男、C男、D女)は、数学がどちらかというと苦手であり、自分で考える前に友人に答えを聞くタイプの生徒たちである。

C男：おれは図２の方が絶対求めやすいと思う。

A男：でも、他の3人が図１だからそっちやろ。

D女：じゃんけんで決めよ。じゃんけんぽん(A男が勝つ)。

A男：(笑う)。図１ってさ、三角形の面積を考えれば簡単じゃない？

B男：ここ(AC)をxと置くやろ？で、ここが1やろ。

C男：どうやってやるん？そのやり方。

A男：(ホワイトボードで示しながら)ここ(AC)がx。ここ(正五角形の1辺)が1。

B男・C男：で、どうするん？ここ(B)とここ(F)が重なって。

D女：△ABCと△AFBが相似だから…。

A男：BとFが重なるんやな。

B男：これってさ、相似比が使えるけん、(ACとABを指しながら)1：xやろ？うん、1：x。

D女：1：x。二等辺三角形だから…

B男：ここ(AB)とここ(BC)一緒。で、どうするんやろ。

A男：え、何求めるんやったっけ。

B男：この二等辺三角形が相似っていうのを使って、xを求めるんやろ。

C男：正五角形の対角線を結んでできる三角形なんて全部二等辺三角形やろ。

A男：そうか、やけん…。ここ(AB)が1ってことは…(皆で図を眺める)。

教師：AFの長さってわからんの？

B男：えーわからん。a使ってみよう。AFがaやろ。で？

D女：aのヒントがないけんどうしたらええんやろ…(他のグループにも聞いてみる)。

B男：待って。二等辺三角形やから、ここ(AG)も1やん。なら、CFも1で。

C男：(AFをさして)1－x。いや、x－1か。

D女：じゃあ、  で、  だ。

　４人はわからないなりにも、「これまで学んできたことが使えないか？」と考えるだけで、いろいろな発言をしながら正五角形の対角線の長さについて考察している。このように、これまでの知識が断片的なものであったとしても、最終ゴールの「正五角形の作図はできそう」という見通しがあるため、これまでの学習を何となくでも思い出そうとし、その知識や技能を活かして考えることができた。

２　正五角形の作図方法を考える

　正五角形の対角線の長さがわかり、いよいよ正五角形を作図する活動に入っていく。ここまでの活動で明らかにしたこと、正五角形の作図に必要な技能であると考えられることは以下のとおりである。

・正五角形の1辺と対角線の長さの比は、  であること(黄金比であること)。

・  の長さの作図は、ます目を使って、１ますの長さに対してかけること。

・  の作図は、垂直二等分線でかけること。

　これらの情報を使いながら、実際に作図の方法について考えていく。この場面について、先ほどのグループの交流を見ていきたい。

B男：  ってどうやってかくん？

D女：  って何よ。前かいた のかき方を使ってみよう。

A男：前やったやつって？四角形のやつ。

D女：そう。3×3の四角を使って正方形かくやつ。これで  の長さはいけるやん。

B男：これが で、その半分が  やろ。1ってどうするん。

A男：(ます目をさして)これが1やろ。で、これを足すんよ。で、半分で 。

C男：わかった。この長さをとって、二等辺三角形をかくんや。

D女：こうやって、こうやって…。

B男：72°、72°の作図ができたらな…。

D女：できた。めっちゃ(正五角形)ぽいのができた。

C男：どうやってやったん。ちょっと違うやろ。

D女：えー。やっぱ最初の三角形をどうかくかやな。

A男：(黙々と二等辺三角形づくりに取り組む)

　このように、ます目があるので、平方根の考えを利用し、黄金数の作図に取り組もうとする姿が見られた。図３は、本時の後に、正五角形の対角線をA男が作図したものである。

(正五角形の1辺):(正五角形の対角線)=  

=

黄金数の作図ができたら、それを2辺とする二等辺三角形をかいて正五角形の3点を決め、残りの2点も1辺の長さを利用して見つけ、正五角形の作図が完成する。これまでの学習とつながっているので、自分の考えや他者の考えを統合しながら、１つの作図を考えていく。

　

３　「三平方の定理」学習後の正五角形の作図

三平方の定理では、直角三角形の斜辺の平方が、他の2辺の平方の和と等しいことを学習する。いろいろな3辺の比の直角三角形を見つける学習から、辺の長さの比が、1:2:  になる直角三角形があることに生徒が気づく。これを使えば、ます目を使わなくても  の作図をすることができると生徒は考えた。

まず、ある線分ABの垂直二等分線を作図し、線分ABとの交点をPとする。Pから、線分ABと同じ長さをとり、垂直二等分線との交点をQとする。△APQは直角三角形で、  より、  となるのである。

辺の比が  になる直角三角形を作図したときに、「この比や作図って、三平方の定理を学習する前にどこかで似たものを見てないかな？」と問い、以前の内容を振り返るよう促す。すると、この直角三角形を利用すると、「正五角形の作図はます目がなくてもできるのでは？」と気づいた生徒がおり、その発言を学級全体に広めて、実際に作図できるのか考えた。  という数を学んだ平方根、ます目を用いて黄金数を作図した相似な図形、三平方の定理、それぞれの学習内容をつなげようとする姿が見られた。図４は、A男が三平方の定理学習後に作図した、正五角形である。

４　数学のもつ「つながり」を実感する

今回は、「正五角形の作図」で実践を行ったが、他の内容でも算数や数学の「つながり」を感じることのできるものはあるのではないだろうか。もともと数学という学問は、系統性のある学問である。そして、日常生活とは切り離せないものでもある。これまでの子どもの学習や経験から、数学的な見方や考え方は育まれており、それを活かすことができれば、算数・数学の授業に興味を持って参加できると考える。つまり、数学のもつ「つながり」を実感するための既習知識を活性化する手立てを用いることで、自分の考えが持て、授業に参加できる生徒が多くなっていくのではないかと考える。